Primitiva funktioner & bestämda integraler

Om:

F'(x) = f(x)

är F en primitiv funktion till f.

Exempel:

f(x) = 2x

En primitiv funktion är:

F(x) = x²

eftersom:

F'(x) = 2x

Men även:

F(x) = x² + 5

har samma derivata.

Därför skriver vi:

F(x) = x² + C

där C är en konstant.

Om:

f(x) = x^n

så är en primitiv funktion:

F(x) = x^(n+1)/(n+1) + C

för:

n ≠ -1

Exempel:

∫x² dx

= x³/3 + C

En bestämd integral skrivs:

∫ₐᵇ f(x) dx

och kan beräknas:

F(b) - F(a)

där F är en primitiv funktion.

Beräkna:

∫₀² 2x dx

En primitiv funktion:

F(x) = x²

Sätt in gränserna:

F(2) - F(0)

= 4 - 0

= 4

Om funktionen ligger ovanför x-axeln motsvarar integralen arean mellan:

grafen

x-axeln

de två integrationsgränserna

Men om grafen ligger under x-axeln blir bidraget negativt.

Därför är integral och geometrisk area inte alltid exakt samma sak.

Eftersom:

d/dx(e^x) = e^x

gäller:

∫e^x dx = e^x + C

Mer generellt:

∫e^(kx) dx = e^(kx)/k + C

för k ≠ 0.

Beräkna:

∫₁³ 3x² dx

Steg 1: Primitiv funktion

F(x) = x³

Steg 2: Övre gränsen

F(3) = 27

Steg 3: Undre gränsen

F(1) = 1

Steg 4: Subtrahera

27 - 1 = 26

Svar: 26

• Bestäm en primitiv funktion.
• Sätt in den övre integrationsgränsen.
• Sätt in den undre.
• Beräkna F(b)-F(a).
• Tolka resultatet.

Fel:

∫x² dx = 2x

Det är derivering, inte integrering.

Rätt:

x³/3 + C

Fel:

Glömma integrationskonstanten C vid obestämd integral.

Fel:

Beräkna:

F(a)-F(b)

vid bestämd integral.

Rätt:

F(b)-F(a)

Bestäm en primitiv funktion till:

f(x) = 4x³

Svar:

F(x) = x⁴ + C

• Primitiv funktion är motsatsen till derivata.
• Obestämda integraler innehåller en integrationskonstant C.
• Bestämda integraler beräknas med F(b)-F(a).
• Integraler kan beskriva area och andra ackumulerade storheter.
• Integralen kan vara negativ om grafen ligger under x-axeln.