Derivata & deriveringsregler

Om:

f(x)

är en funktion skrivs derivatan:

f'(x)

Exempel:

f(x) = x²

ger:

f'(x) = 2x

Det betyder att funktionens lutning beror på x.

Vid:

x = 3

är:

f'(3) = 6

Tangenten har alltså lutningen 6.

Om:

f(x) = x^n

så gäller:

f'(x) = n·x^(n-1)

Exempel:

f(x) = x⁵

f'(x) = 5x⁴

Med koefficient

f(x) = 4x³

f'(x) = 12x²

En konstant förändras inte.

Om:

f(x) = 7

så:

f'(x) = 0

Derivera varje term för sig.

f(x) = 3x³ + 2x² - 5x + 8

blir:

f'(x) = 9x² + 4x - 5

Konstanten 8 försvinner.

Derivera:

f(x) = 2x⁴ - 3x² + 6x - 4

Första termen

2x⁴ → 8x³

Andra termen

-3x² → -6x

Tredje termen

6x → 6

Konstanten

-4 → 0

Svar:

f'(x) = 8x³ - 6x + 6

Om:

f'(x) > 0

är funktionen växande.

Om:

f'(x) < 0

är funktionen avtagande.

Om:

f'(x) = 0

har grafen en horisontell tangent.

Det kan exempelvis vara ett maximum eller minimum.

Om:

s(t)

mäts i meter och t i sekunder, beskriver:

s'(t)

hastigheten i:

m/s

Derivatan får alltså en ny enhet.

• Identifiera varje term.
• Använd rätt deriveringsregel.
• Förenkla derivatan.
• Sätt in x-värdet om derivatan ska bestämmas i en viss punkt.
• Tolka vad derivatan betyder i situationen.

Fel:

x⁴ → 4x⁴

Rätt:

x⁴ → 4x³

Exponentens värde minskar med 1.

Fel:

5 → 5

vid derivering.

Rätt:

5 → 0

Fel:

Att tro att f'(x) och f(x) beskriver samma sak.

Funktionen ger själva värdet.

Derivatan beskriver förändringen.

Derivera:

f(x) = 5x³ - 2x + 7

Svar:

f'(x) = 15x² - 2

• Derivatan beskriver momentan förändringshastighet.
• Den beskriver också tangentens lutning.
• x^n → n·x^(n-1).
• Konstanter får derivatan 0.
• Positiv derivata betyder växande funktion.
• Negativ derivata betyder avtagande funktion.