Gränsvärde, sekant & tangent

Anta att en bil färdas:

120 km

på:

2 timmar

Den genomsnittliga hastigheten är:

120 / 2 = 60 km/h

Detta är en genomsnittlig förändringshastighet.

Men bilen behöver inte ha kört exakt 60 km/h i varje ögonblick.

För att bestämma hastigheten i ett visst ögonblick behöver intervallet göras allt mindre.

För en funktion f(x) mellan två x-värden gäller:

ändringskvot = (f(x₂) - f(x₁)) / (x₂ - x₁)

Det beskriver funktionens genomsnittliga förändring mellan två punkter.

En linje genom två punkter på en funktionsgraf kallas en sekant.

Sekantens lutning är ändringskvoten.

Exempel:

f(x) = x²

Vi undersöker mellan:

x = 2

och:

x = 3

f(2) = 4

f(3) = 9

Sekantens lutning:

(9 - 4)/(3 - 2) = 5

Om den andra punkten flyttas allt närmare den första kommer sekanten allt mer att likna en tangent.

Tangenten berör grafen i den aktuella punkten och dess lutning beskriver den momentana förändringshastigheten.

Det är detta som leder till begreppet derivata.

Ett gränsvärde beskriver vilket värde ett uttryck närmar sig.

Vi kan skriva:

lim h→0

för att beskriva vad som händer när h närmar sig 0.

Derivatan kan definieras:

f'(x) = lim h→0 [f(x+h) - f(x)] / h

Tanken är att intervallet mellan punkterna blir allt mindre.

För:

f(x) = x²

vill vi undersöka förändringen vid:

x = 2

Använd:

x = 2

och:

x = 2 + h

Ändringskvoten blir:

[(2+h)² - 2²] / h

Utveckla:

(4 + 4h + h² - 4) / h

= (4h + h²)/h

= 4 + h

När:

h → 0

närmar sig uttrycket:

4

Alltså är tangentens lutning vid x = 2:

4

• Identifiera två punkter.
• Beräkna ändringskvoten.
• Fundera på vad som händer när punkterna kommer närmare varandra.
• Koppla sekantens lutning till genomsnittlig förändring.
• Koppla tangentens lutning till momentan förändring.

Fel:

Att tro att sekant och tangent är samma sak.

En sekant går genom två punkter. Tangenten beskriver lutningen i en punkt.

Fel:

Att tänka att h → 0 betyder att h måste vara exakt 0.

Om h = 0 direkt skulle division med noll uppstå.

Vi undersöker istället vad uttrycket närmar sig.

För:

f(x) = x²

beräkna ändringskvoten mellan:

x = 1

och:

x = 3

(9 - 1)/(3 - 1)

= 8/2

= 4

Svar: 4

• Ändringskvoten beskriver genomsnittlig förändring.
• Sekanten går genom två punkter på grafen.
• Tangenten beskriver lutningen i en punkt.
• Gränsvärde används när intervallet görs allt mindre.
• Derivatan bygger på ett gränsvärde av ändringskvoten.