Andraderivata & extremvärden

En stationär punkt uppstår när:

f'(x) = 0

Där är tangenten horisontell.

Punkten kan vara:

maximipunkt

minimipunkt

annan stationär punkt

f(x) = x² - 4x + 5

Derivera:

f'(x) = 2x - 4

Sätt:

f'(x) = 0

2x - 4 = 0

x = 2

Sätt in i originalfunktionen:

f(2) = 4 - 8 + 5

= 1

Punkten är:

(2,1)

Deriverar vi derivatan får vi andraderivatan:

f''(x)

För:

f(x) = x² - 4x + 5

är:

f'(x) = 2x - 4

och:

f''(x) = 2

Grafen är lokalt böjd uppåt.

En stationär punkt är då ett lokalt minimum.

Grafen är lokalt böjd nedåt.

En stationär punkt är då ett lokalt maximum.

Du kan också undersöka derivatans tecken.

Exempel:

Om:

f'(x) > 0 före punkten

f'(x) < 0 efter punkten

går funktionen från växande till avtagande.

Punkten är ett maximum.

Om:

f'(x) < 0 före

f'(x) > 0 efter

är punkten ett minimum.

Exempel:

En rektangel har omkretsen 20 meter.

Om ena sidan är x blir den andra:

10 - x

Arean:

A(x) = x(10-x)

A(x) = 10x - x²

Derivera:

A'(x) = 10 - 2x

Sätt lika med noll:

10 - 2x = 0

x = 5

Den andra sidan är också 5.

Största arean fås alltså av en kvadrat.

f(x) = -x² + 6x + 2

Steg 1

f'(x) = -2x + 6

Steg 2

-2x + 6 = 0

x = 3

Steg 3

f''(x) = -2

Eftersom:

f''(3) < 0

är punkten ett maximum.

Steg 4

f(3) = -9 + 18 + 2

= 11

Maximipunkt:

(3,11)

Fel:

Att anta att varje lösning till:

f'(x) = 0

är ett maximum.

Fel:

Att sätta x-värdet i derivatan när själva extremvärdet efterfrågas.

Extremvärdet får du från originalfunktionen.

Fel:

Att bara hitta en stationär punkt utan att avgöra vilken typ av punkt den är.

f(x) = x² - 8x + 3

Bestäm x-värdet för extrempunkten.

f'(x) = 2x - 8

2x - 8 = 0

x = 4

Svar: x = 4

• Stationära punkter uppfyller ofta f'(x)=0.
• Derivatans tecken visar var funktionen växer och avtar.
• Andraderivatan hjälper till att klassificera stationära punkter.
• f'' > 0 tyder på minimum.
• f'' < 0 tyder på maximum.
• Derivata kan användas för optimeringsproblem.