Integraler i tillämpningar

Om:

f(x) ≥ 0

på intervallet [a,b]

kan arean beräknas:

A = ∫ₐᵇ f(x) dx

Om:

f(x)

ligger ovanför:

g(x)

kan arean mellan graferna beräknas:

A = ∫ₐᵇ [f(x)-g(x)] dx

Om:

v(t)

beskriver hastighet kan integralen:

∫ₐᵇ v(t) dt

beskriva förflyttningen under tidsintervallet.

Om hastigheten alltid är positiv motsvarar den även den tillryggalagda sträckan.

En bils hastighet beskrivs:

v(t) = 4t + 2

meter per sekund.

Bestäm förflyttningen mellan:

t = 0

och:

t = 5

Integrera:

∫₀⁵ (4t+2) dt

Primitiv funktion:

2t² + 2t

Sätt in:

2·5² + 2·5

= 50 + 10

= 60

Svar: 60 meter

Om:

P'(t)

beskriver hur snabbt en population förändras kan:

∫ₐᵇ P'(t) dt

beskriva populationens totala förändring under intervallet.

Detta visar sambandet mellan derivata och integral.

Om en hastighetsfunktion går under noll kan integralen ge nettoförflyttningen.

Men den totala sträckan kräver att negativa delar hanteras som positiva längder.

Det är därför viktigt att tolka grafen.

f(x) = x + 2

g(x) = x

mellan:

x = 0

och:

x = 4

Skillnaden:

f(x)-g(x)=2

Arean:

∫₀⁴ 2 dx

= 8

• Identifiera vad som förändras.
• Bestäm vilken funktion som ska integreras.
• Bestäm integrationsgränserna.
• Beräkna integralen.
• Kontrollera enheten.
• Tolka vad svaret betyder.

Fel:

Att automatiskt kalla integralens värde "area" oavsett sammanhang.

Integralen kan beskriva många olika storheter.

Fel:

Att ignorera negativa funktionsvärden.

Fel:

Att glömma enheten.

Om hastigheten mäts i m/s och integreras över sekunder blir resultatet meter.

En hastighet är konstant:

v(t) = 5 m/s

under 4 sekunder.

∫₀⁴ 5 dt

= 20

Svar: 20 meter

• Integraler summerar kontinuerliga förändringar.
• De kan användas för areor och ackumulerade storheter.
• Integral av hastighet kan ge förflyttning.
• Area mellan två grafer beräknas genom skillnaden mellan funktionerna.
• Enheten är viktig för tolkningen.