Exponentialfunktioner, e & naturlig logaritm

Talet:

e ≈ 2,71828

är en matematisk konstant.

Funktionen:

f(x) = e^x

har den speciella egenskapen:

f'(x) = e^x

Funktionen är alltså sin egen derivata.

Om:

f(x) = e^(kx)

så:

f'(x) = k·e^(kx)

Exempel:

f(x) = e^(3x)

ger:

f'(x) = 3e^(3x)

För:

f(x) = a^x

gäller:

f'(x) = a^x · ln(a)

Exempel:

f(x) = 2^x

f'(x) = 2^x ln(2)

Den naturliga logaritmen skrivs:

ln(x)

Den är logaritmen med basen e.

Det innebär:

ln(e^x) = x

och:

e^(ln x) = x

för positiva x.

Exempel:

e^(2x) = 10

Ta ln på båda sidor:

ln(e^(2x)) = ln(10)

2x = ln(10)

x = ln(10)/2

x ≈ 1,15

Derivera:

f(x) = 4e^(2x)

Derivatan av:

e^(2x)

är:

2e^(2x)

Multiplicera med 4:

f'(x) = 8e^(2x)

En population beskrivs:

P(t) = 500e^(0,03t)

Derivatan är:

P'(t) = 15e^(0,03t)

Vid:

t = 0

är:

P'(0) = 15

Populationen ökar alltså initialt med ungefär 15 individer per tidsenhet.

• Identifiera typen av exponentialfunktion.
• Kontrollera om basen är e.
• Använd rätt deriveringsregel.
• Använd ln när exponenten innehåller en okänd variabel som ska lösas ut.
• Tolka derivatan i sitt sammanhang.

Fel:

e^x → xe^(x-1)

Potensregeln gäller inte exponentialfunktioner.

Rätt:

e^x → e^x

Fel:

e^(3x) → e^(3x)

Rätt:

3e^(3x)

Fel:

Att blanda ihop:

ln(x)

med:

log₁₀(x)

De har olika baser.

Derivera:

f(x) = 5e^(4x)

Svar:

f'(x) = 20e^(4x)

• e ≈ 2,71828.
• Derivatan av e^x är e^x.
• e^(kx) får derivatan k·e^(kx).
• ln(x) är logaritmen med bas e.
• ln kan användas för att lösa exponentialekvationer.