Vektorer

En vektor i koordinatform kan skrivas:

(3,2)

Det betyder:

3 steg i x-led

2 steg i y-led

En vektor kan också representeras som en pil.

Pilens:

riktning beskriver vektorns riktning

längd beskriver vektorns storlek

Vektor mellan två punkter

Punkterna är:

A(2,1)

B(7,4)

Vektorn från A till B är:

AB = (7-2, 4-1)

AB = (5,3)

Addition

Om:

u = (2,3)

och:

v = (4,-1)

blir:

u + v = (2+4, 3-1)

u + v = (6,2)

Subtraktion

u - v

ger:

(2-4, 3-(-1))

(-2,4)

Multiplikation med skalär

Om:

u = (2,3)

så är:

2u = (4,6)

Vektorn får dubbelt så stor längd men samma riktning.

Om skalären är negativ vänds riktningen.

Vektorns absolutbelopp

Vektorns längd kallas dess absolutbelopp.

För:

u = (3,4)

gäller:

|u| = √(3² + 4²)

|u| = 5

Här används alltså Pythagoras sats.

Punkterna är:

A(-1,2)

och:

B(4,6)

Bestäm vektorn AB och dess längd.

Steg 1

AB = (4-(-1), 6-2)

AB = (5,4)

Steg 2

|AB| = √(5² + 4²)

= √41

≈ 6,4

Svar:

AB = (5,4)

Längden är cirka 6,4.

1. Identifiera startpunkt och slutpunkt.
2. Subtrahera startpunktens koordinater från slutpunktens.
3. Räkna komponentvis vid addition och subtraktion.
4. Multiplicera båda komponenterna vid skalärmultiplikation.
5. Använd Pythagoras sats för att beräkna längden.

Fel:

Från A till B:

A - B

Rätt:

B - A

Fel:

(2,3) + (4,5) = (6,8) är korrekt.

Men:

(2,3) · 2 = (4,3)

är fel.

Rätt:

(4,6)

Fel:

Att blanda ihop en punkt och en vektor.

De kan skrivas med liknande koordinater men beskriver olika saker.

u = (3,-2)

v = (1,5)

Bestäm:

u + v

Svar:

(4,3)

• Vektorer har storlek och riktning.
• De kan representeras i koordinatform.
• Addition och subtraktion görs komponentvis.
• En vektor kan multipliceras med en skalär.
• Vektorns längd beräknas med Pythagoras sats.