Trigonometriska identiteter, derivator & integraler

Trigonometriska ettan

sin²x + cos²x = 1

Identiteten gäller för alla x.

Tangens

tan x = sin x / cos x

så länge cos x ≠ 0.

Additionsformler

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b

Motsvarande formler för differenser fås genom att ersätta b med -b.

När vinkeln mäts i radianer gäller:

(sin x)' = cos x

(cos x)' = -sin x

(tan x)' = 1/cos²x

där tan x är definierad.

Kedjeregel

Exempel:

f(x) = sin(3x)

f'(x) = 3cos(3x)

Primitiva funktioner:

∫ sin x dx = -cos x + C

∫ cos x dx = sin x + C

Med inre faktor

∫ cos(2x) dx = (1/2)sin(2x) + C

Kontrollera genom att derivera svaret.

Förenkla:

1 - sin²x

Använd:

sin²x + cos²x = 1

Därför:

1 - sin²x = cos²x

Derivera

f(x) = 4cos(2x)

f'(x) = 4 · (-sin(2x)) · 2

= -8sin(2x)

1. Identifiera vilken identitet eller regel som passar uttrycket.
2. Skriv om uttrycket stegvis och håll båda leden ekvivalenta.
3. Vid derivata: kontrollera om kedjeregeln behövs.
4. Vid integral: kontrollera inre faktor och lägg till integrationskonstant C.
5. Verifiera gärna genom att derivera en primitiv funktion.

Fel:

sin(a + b) = sin a + sin b

Rätt:

Använd additionsformeln.

Fel:

(cos x)' = sin x

Rätt:

(cos x)' = -sin x.

Fel:

∫ cos(3x) dx = sin(3x) + C

Rätt:

(1/3)sin(3x) + C.

Derivera:

f(x) = 2sin(5x)

Svar:

f'(x) = 10cos(5x)

• sin²x + cos²x = 1.
• Additionsformler används för summor och differenser av vinklar.
• (sin x)' = cos x och (cos x)' = -sin x.
• (tan x)' = 1/cos²x.
• ∫ sin x dx = -cos x + C och ∫ cos x dx = sin x + C.

Trigonometriska ettan

På enhetscirkeln har punkten koordinaterna:

(cos x, sin x)

Radien är 1.

Pythagoras sats ger därför:

cos²x + sin²x = 1

Tangensderivatan

Eftersom:

tan x = sin x / cos x

kan kvotregeln användas:

(tan x)' = [cos²x + sin²x]/cos²x

Trigonometriska ettan ger:

(tan x)' = 1/cos²x

Integralerna

Eftersom:

(sin x)' = cos x

är en primitiv funktion till cos x just sin x.

Eftersom:

(cos x)' = -sin x

är en primitiv funktion till sin x:

-cos x