Derivata – fördjupning

Om:

f(x) = u(x)·v(x)

gäller:

f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

Exempel

f(x) = x²e^x

Här:

u = x²

u' = 2x

v = e^x

v' = e^x

Alltså:

f'(x) = 2xe^x + x²e^x

Kan faktoriseras:

f'(x) = e^x(2x+x²)

Om:

f(x) = u(x)/v(x)

gäller:

f'(x) = [u'v - uv'] / v²

Exempel

f(x) = x/e^x

u=x

u'=1

v=e^x

v'=e^x

Alltså:

f'(x) = [e^x - xe^x]/e^(2x)

Om en funktion är sammansatt används kedjeregeln.

Exempel:

f(x) = (3x+1)⁵

Yttre funktion:

u⁵

deriveras till:

5u⁴

Inre funktion:

3x+1

har derivatan:

3

Alltså:

f'(x) = 5(3x+1)⁴ · 3

= 15(3x+1)⁴

För:

f(x)=ln(x)

gäller:

f'(x)=1/x

Exempel

f(x)=ln(2x+1)

Använd kedjeregeln:

f'(x)=2/(2x+1)

Om:

f(x)=g(h(x))

består funktionen av:

en yttre funktion

en inre funktion

Vid derivering behöver båda tas hänsyn till.

Derivera:

f(x)=e^(x²)

Yttre funktion

e^u

har derivatan:

e^u

Inre funktion

u=x²

har derivatan:

2x

Alltså:

f'(x)=2xe^(x²)

Fel:

(uv)' = u'v'

Rätt:

u'v + uv'

Fel:

Att glömma den inre derivatan i kedjeregeln.

Fel:

ln(x) → ln(x)

Rätt:

1/x

Derivera:

f(x) = (2x-3)⁴

Svar:

f'(x)=8(2x-3)³

• Produktregeln används vid multiplikation av funktioner.
• Kvotregeln används vid division.
• Kedjeregeln används för sammansatta funktioner.
• d/dx ln(x)=1/x.
• Mer komplicerade funktioner kan kräva flera regler samtidigt.