Sinus-, cosinus- & areasatsen

Cosinussatsen

För en triangel med sidorna a, b och c och motstående vinklar A, B och C gäller:

c² = a² + b² - 2ab cos(C)

Den kan ses som en generalisering av Pythagoras sats.

Om:

C = 90°

är:

cos(90°) = 0

och formeln blir:

c² = a² + b²

alltså Pythagoras sats.

När används cosinussatsen?

Den är särskilt användbar när du känner:

• två sidor och vinkeln mellan dem
• alla tre sidor och söker en vinkel

Exempel

a = 5

b = 7

C = 60°

Bestäm c.

c² = 5² + 7² - 2·5·7·cos(60°)

c² = 25 + 49 - 35

c² = 39

c ≈ 6,24

Svar: cirka 6,2

Sinussatsen

Sinussatsen beskriver sambandet:

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

Den används när du känner en sida och dess motstående vinkel tillsammans med ytterligare information.

Exempel

a = 8

A = 40°

B = 70°

Bestäm b.

8/sin(40°) = b/sin(70°)

Lös ut b:

b = 8 · sin(70°) / sin(40°)

b ≈ 11,7

Areasatsen

Triangelns area kan beräknas:

A = ab sin(C) / 2

där C är vinkeln mellan sidorna a och b.

Exempel

Två sidor är:

8 cm

och:

10 cm

Vinkeln mellan dem är:

30°

A = 8 · 10 · sin(30°) / 2

A = 20

Svar: 20 cm²

Vilken sats ska jag välja?

Pythagoras sats

När triangeln är rätvinklig och två sidor är kända.

Sinus/cosinus/tangens

När triangeln är rätvinklig och sidor/vinklar söks.

Sinussatsen

När du känner en sida och dess motstående vinkel.

Cosinussatsen

När du känner:

två sidor och mellanliggande vinkel

eller tre sidor

Areasatsen

När du känner två sidor och vinkeln mellan dem och söker arean.

Fel:

I sinussatsen koppla en sida till fel vinkel.

Sidan a måste paras ihop med den motstående vinkeln A.

Fel:

I cosinussatsen använda en vinkel som inte ligger mellan a och b när formeln skrivs:

c² = a² + b² - 2ab cos(C)

Fel:

Glömma divisionen med 2 i areasatsen.

En triangel har:

a = 6

b = 9

C = 90°

Använd cosinussatsen för att bestämma c.

Eftersom:

cos(90°) = 0

får vi:

c² = 6² + 9²

c² = 117

c ≈ 10,82

Svar: cirka 10,8

• Sinussatsen och cosinussatsen fungerar även i trianglar som inte är rätvinkliga.
• Cosinussatsen generaliserar Pythagoras sats.
• Sinussatsen kopplar varje sida till dess motstående vinkel.
• Areasatsen är A = ab sin(C)/2.
• Välj metod utifrån vilken information som är känd.