Geometriska satser & bevis

Definition

En definition bestämmer exakt vad ett matematiskt begrepp betyder.

Exempel:

En rät vinkel är en vinkel som är 90°.

Sats

En sats är ett matematiskt påstående som kan bevisas.

Exempel:

Pythagoras sats

I en rätvinklig triangel gäller:

a² + b² = c²

Bevis

Ett bevis visar med logiska argument att en sats alltid gäller under de givna förutsättningarna.

Ett exempel räcker alltså inte.

Att visa att Pythagoras sats fungerar för triangeln 3–4–5 visar bara att satsen fungerar i just det fallet.

Ett bevis måste visa varför den gäller generellt.

Vinkelsats

Triangelns vinkelsumma är:

180°

Om två vinklar är kända kan den tredje bestämmas.

Exempel:

55° + 65° + x = 180°

x = 60°

Likformighet som resonemang

Om två trianglar har samma vinklar är de likformiga.

Då är förhållandet mellan motsvarande sidor konstant.

Det gör att vi kan dra slutsatser om okända längder.

Implikation

Implikation kan beskrivas:

Om A gäller, så gäller B.

Exempel:

Om en fyrhörning är en kvadrat, då har den fyra räta vinklar.

Det skrivs ibland:

A ⇒ B

Det betyder inte automatiskt att:

B ⇒ A

En fyrhörning med fyra räta vinklar behöver exempelvis inte vara en kvadrat. Den kan vara en rektangel.

Ekvivalens

Ekvivalens betyder att två påståenden gäller åt båda hållen.

A ⇔ B

Exempel:

Ett heltal är jämnt om och endast om det är delbart med 2.

Enkelt geometriskt resonemang

En triangel har två lika långa sidor.

Då är triangeln likbent.

I en likbent triangel är basvinklarna lika stora.

Om toppvinkeln är:

40°

återstår:

180° - 40° = 140°

De två lika stora basvinklarna är:

140° / 2 = 70°

Svar: 70° vardera

När du ska motivera en geometrisk lösning:

1. Skriv vad du vet.
2. Identifiera relevant definition eller sats.
3. Tillämpa satsen.
4. Visa mellanleden.
5. Formulera slutsatsen tydligt.

Misstag:

"Det ser ut som att vinkeln är 90°."

En figur behöver inte vara skalenligt ritad.

Misstag:

Att använda ett enskilt exempel som ett generellt bevis.

Misstag:

Att anta att en implikation automatiskt fungerar åt båda hållen.

En likbent triangel har toppvinkeln 50°.

Bestäm de två basvinklarna.

180° - 50° = 130°

130° / 2 = 65°

Svar: 65° och 65°

• Definitioner bestämmer betydelsen av matematiska begrepp.
• Satser är matematiska påståenden som kan bevisas.
• Bevis visar varför något gäller generellt.
• Geometriska satser kan användas för att bestämma vinklar och längder.
• Implikation och ekvivalens beskriver logiska samband.