Enhetscirkeln

Enhetscirkeln är en cirkel:

med centrum i origo

med radien 1

En punkt på cirkeln kan beskrivas:

P = (cos(v), sin(v))

Det betyder:

x-koordinaten är cos(v)

y-koordinaten är sin(v)

Exempel

För:

v = 0°

är punkten:

(1,0)

Därför:

cos(0°) = 1

sin(0°) = 0

För:

v = 90°

är punkten:

(0,1)

Därför:

cos(90°) = 0

sin(90°) = 1

Kvadranter

Enhetscirkeln gör alltså tecknen tydliga.

Första kvadranten

sin(v) > 0

cos(v) > 0

Andra kvadranten

sin(v) > 0

cos(v) < 0

Tredje kvadranten

sin(v) < 0

cos(v) < 0

Fjärde kvadranten

sin(v) < 0

cos(v) > 0

Trigonometriska ettan

Eftersom alla punkter ligger på en cirkel med radien 1 gäller Pythagoras sats:

x² + y² = 1

Eftersom:

x = cos(v)

och:

y = sin(v)

får vi:

cos²(v) + sin²(v) = 1

Detta kallas den trigonometriska ettan.

Tangens

Tangens kan beskrivas:

tan(v) = sin(v) / cos(v)

så länge:

cos(v) ≠ 0

Bestäm ett värde

Om:

sin(v) = 3/5

och v ligger i första kvadranten.

Använd trigonometriska ettan:

sin²(v) + cos²(v) = 1

(3/5)² + cos²(v) = 1

9/25 + cos²(v) = 25/25

cos²(v) = 16/25

Eftersom vinkeln ligger i första kvadranten:

cos(v) = 4/5

1. Identifiera vinkeln och kvadranten.
2. Använd punktens koordinater för sinus och cosinus.
3. Kontrollera tecknen.
4. Använd trigonometriska ettan vid behov.
5. Använd tan = sin/cos när det är lämpligt.

Fel:

Att anta att sinus och cosinus alltid är positiva.

Fel:

Att blanda ihop koordinaterna.

På enhetscirkeln:

(x,y) = (cos(v), sin(v))

Fel:

Att tro att:

sin²(v) + cos²(v) = 2

Rätt:

= 1

Vilka tecken har sinus och cosinus i tredje kvadranten?

Svar:

sin(v) < 0

cos(v) < 0

• Enhetscirkeln har radien 1.
• Punkten på cirkeln kan skrivas (cos(v), sin(v)).
• Sinus och cosinus kan vara positiva eller negativa.
• sin²(v) + cos²(v) = 1.
• Enhetscirkeln utvidgar trigonometrin bortom rätvinkliga trianglar.