Sammansatta funktioner, logaritmer & asymptoter

Om:

f(x) = x² + 1

och:

g(x) = 2x - 3

så betyder:

(f ∘ g)(x)

att g används först och resultatet sätts in i f.

Alltså:

f(g(x)) = (2x - 3)² + 1

Definitionsmängd

När funktioner sätts samman måste både den inre och den yttre funktionen vara definierade för de aktuella värdena.

Funktionen:

y = ln x

är invers till:

y = e^x

Därför gäller:

ln(e^x) = x

och:

e^(ln x) = x

för x > 0.

Graf

ln x är endast definierad för x > 0.

När x närmar sig 0 från höger går ln x mot -∞.

Vertikal asymptot

Om en funktion växer utan gräns när x närmar sig ett visst värde kan en vertikal asymptot finnas.

Exempel:

f(x) = 1/x

har den vertikala asymptoten:

x = 0

Linjär asymptot

En linjär asymptot har formen:

y = kx + m

En horisontell asymptot är specialfallet k = 0.

Asymptoten beskriver hur grafen närmar sig en linje för stora positiva eller negativa x.

Kombinera information om definitionsmängd, nollställen, asymptoter, derivata och extrempunkter.

Målet är inte en perfekt teckning utan en graf som visar funktionens viktiga egenskaper.

Undersök:

f(x) = (2x + 1)/(x - 1)

Skriv om:

f(x) = 2 + 3/(x - 1)

Därför ser vi:

vertikal asymptot x = 1

horisontell asymptot y = 2

Detta ger en tydlig grund för grafskissen.

1. Bestäm definitionsmängden.
2. Identifiera nollställen och skärningar med axlarna.
3. Undersök möjliga asymptoter.
4. Använd derivatan för växande, avtagande och extrempunkter när det behövs.
5. Skissa grafen och kontrollera att alla egenskaper stämmer.

Fel:

f(g(x)) = f(x)g(x)

Rätt:

Sammansättning betyder att hela g(x) sätts in som argument i f.

Fel:

ln x är definierad för alla reella x.

Rätt:

I reell analys krävs x > 0.

Fel:

En asymptot är en linje som grafen aldrig får korsa.

Rätt:

En graf kan korsa exempelvis en horisontell eller sned asymptot; det avgörande är gränsbeteendet.

För:

f(x) = 3 + 2/(x + 4)

ange asymptoterna.

Svar:

vertikal asymptot x = -4

horisontell asymptot y = 3

• Sammansatta funktioner skrivs exempelvis f(g(x)).
• ln x är invers till e^x och kräver x > 0.
• Asymptoter beskriver en funktions gränsbeteende.
• En linjär asymptot har formen y = kx + m.
• Grafskissning kombinerar flera egenskaper hos funktionen.