Rationella uttryck

Vad är ett rationellt uttryck?

Ett rationellt uttryck kan skrivas som:

P(x) / Q(x)

där P(x) och Q(x) är polynom och:

Q(x) ≠ 0

Exempel:

(x + 2)/(x - 3)

Här är x = 3 inte tillåtet eftersom nämnaren då blir 0.

Förenkla genom faktorisering

Exempel:

(x² - 9)/(x - 3)

Faktorisera täljaren:

x² - 9 = (x - 3)(x + 3)

Då får vi:

[(x - 3)(x + 3)]/(x - 3) = x + 3

men ursprungsuttrycket kräver fortfarande:

x ≠ 3

Addition och subtraktion

För att addera rationella uttryck behövs gemensam nämnare.

Exempel:

1/x + 1/(x + 1)

Gemensam nämnare är:

x(x + 1)

Då blir summan:

(x + 1 + x) / [x(x + 1)]

= (2x + 1) / [x(x + 1)]

Multiplikation och division

Vid multiplikation multipliceras täljare med täljare och nämnare med nämnare.

Faktorisera gärna först så att gemensamma faktorer kan förkortas.

Vid division multiplicerar du med det andra uttryckets invers.

Förenkla:

(x² - 4)/(x² + 3x + 2)

Steg 1: Faktorisera.

x² - 4 = (x - 2)(x + 2)

x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)

Steg 2: Förkorta faktorn (x + 2).

= (x - 2)/(x + 1)

Tillåtna värden från ursprungsuttrycket:

x ≠ -2 och x ≠ -1

1. Bestäm först vilka x-värden som inte är tillåtna.
2. Faktorisera täljare och nämnare när det går.
3. Förkorta endast gemensamma faktorer.
4. Vid addition och subtraktion: skapa gemensam nämnare.
5. Kontrollera till sist att förenklingen inte har fått dig att glömma ursprungliga villkor.

Fel:

(x + 2)/x = 2

Rätt:

Du får inte förkorta termer som ingår i en summa. Förkortning kräver gemensamma faktorer.

Fel:

Efter att (x - 3) har förkortats glömmer man att x = 3 fortfarande var förbjudet.

Rätt:

Tillåtna värden bestäms från ursprungsuttrycket.

Fel:

1/x + 1/y = 2/(x + y)

Rätt:

Gemensam nämnare är xy, så summan blir (x + y)/(xy).

Förenkla och ange tillåtna värden:

(x² - 1)/(x² - x)

Faktorisera:

[(x - 1)(x + 1)]/[x(x - 1)]

= (x + 1)/x

Svar:

(x + 1)/x, där x ≠ 0 och x ≠ 1

• Rationella uttryck är kvoter av polynom.
• Nämnaren får aldrig vara 0.
• Faktorisering gör det möjligt att förkorta gemensamma faktorer.
• Addition och subtraktion kräver gemensam nämnare.
• Ursprungliga otillåtna värden måste alltid finnas kvar.