Komplexa tal

Ett komplext tal skrivs:

z = a + bi

där a är realdel och b är imaginärdel.

Exempel:

z = 3 + 4i

Addition och subtraktion

Räkna realdelar och imaginärdelar var för sig.

(2 + 3i) + (5 - i) = 7 + 2i

Multiplikation

Använd distributiva lagen och:

i² = -1

Exempel:

(1 + i)(2 - i) = 2 - i + 2i - i² = 3 + i

Talet z = a + bi motsvarar punkten (a,b) i det komplexa talplanet.

Absolutbeloppet är:

|z| = √(a² + b²)

Konjugat

Konjugatet till:

z = a + bi

är:

z̄ = a - bi

Produkten z·z̄ är reell:

(a + bi)(a - bi) = a² + b²

Ett komplext tal kan också skrivas:

z = r(cos v + i sin v)

där:

r = |z|

och v är talets argument.

Multiplikation i polär form

När två komplexa tal multipliceras multipliceras beloppen och vinklarna adderas.

Det gör polär form särskilt användbar vid multiplikation och potenser.

Skriv z = 1 + i i polär form.

Belopp:

r = √(1² + 1²) = √2

Argument:

v = 45° = π/4

Svar:

z = √2(cos(π/4) + i sin(π/4))

1. Identifiera realdel och imaginärdel.
2. Använd i² = -1 vid algebraiska beräkningar.
3. Beräkna absolutbelopp med Pythagoras sats.
4. Bestäm argumentet med hjälp av talplanet och rätt kvadrant.
5. Välj rektangulär eller polär form utifrån vilken beräkning som är enklast.

Fel:

i² = 1

Rätt:

i² = -1.

Fel:

|3 + 4i| = 7

Rätt:

|3 + 4i| = √(3² + 4²) = 5.

Fel:

Argumentet bestäms utan hänsyn till kvadranten.

Rätt:

Vinkeln måste placera punkten i rätt kvadrant.

Beräkna:

(2 + i)(2 - i)

= 4 - 2i + 2i - i²

= 5

Svar: 5

• i² = -1.
• Komplexa tal skrivs z = a + bi i rektangulär form.
• |z| = √(a² + b²).
• Konjugatet till a + bi är a - bi.
• Polär form beskriver ett komplext tal med belopp och argument.