Faktorsatsen & polynomekvationer

Om:

P(a) = 0

så är:

(x - a)

en faktor i polynomet P(x).

Omvänt gäller också: om (x - a) är en faktor så är a ett nollställe.

Testa ett möjligt nollställe

För:

P(x) = x³ - 4x² + x + 6

testa x = 2:

P(2) = 8 - 16 + 2 + 6 = 0

Alltså är (x - 2) en faktor.

När en faktor är känd kan polynomet divideras med den faktorn.

Efter divisionen får du ett polynom av lägre grad som ofta kan lösas med vanliga metoder.

Samband med komplexa rötter

Om en polynomekvation saknar tillräckligt många reella lösningar kan återstående lösningar vara komplexa.

Ett reellt andragradspolynom med negativ diskriminant har två komplexa konjugerade lösningar.

Lös:

x³ - 4x² + x + 6 = 0

Vi ser att x = 2 är ett nollställe.

Faktorisera med (x - 2):

P(x) = (x - 2)(x² - 2x - 3)

Faktorisera andragradaren:

x² - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)

Alltså:

P(x) = (x - 2)(x - 3)(x + 1)

Svar:

x = -1, 2 eller 3

1. Skriv polynomekvationen med 0 i ena ledet.
2. Leta efter ett möjligt nollställe och kontrollera det genom insättning.
3. Använd faktorsatsen för att identifiera en faktor.
4. Dividera polynomet med faktorn.
5. Lös den återstående ekvationen och ta med komplexa lösningar när de behövs.

Fel:

P(2) = 0 betyder att (x + 2) är en faktor.

Rätt:

Nollstället 2 motsvarar faktorn (x - 2).

Fel:

En tredjegradsekvation måste ha tre olika reella lösningar.

Rätt:

Lösningar kan sammanfalla eller vara komplexa.

Fel:

Efter polynomdivision glöms den redan funna faktorn bort.

Rätt:

Alla faktorer och alla lösningar ska tas med i slutresultatet.

Visa att x = 1 är ett nollställe till:

P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6

P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0

Alltså är (x - 1) en faktor.

• P(a) = 0 är ekvivalent med att (x - a) är en faktor.
• Polynomdivision sänker polynomets grad när en faktor är känd.
• Nollproduktmetoden används efter faktorisering.
• Polynomekvationer kan ha både reella och komplexa lösningar.
• Kontroll genom insättning minskar risken för teckenfel.