Polynom & polynomekvationer

Vad är ett polynom?

Exempel:

P(x) = 3x⁴ - 2x² + 5x - 7

Detta är ett polynom av grad 4 eftersom den högsta exponenten är 4.

Nollställen

Ett nollställe är ett x-värde där:

P(x) = 0

Grafiskt är det där polynomfunktionen skär eller tangerar x-axeln.

Faktorer och nollprodukt

Om:

(x - 2)(x + 5) = 0

måste minst en faktor vara 0.

Därför:

x = 2 eller x = -5

Bryt ut gemensam faktor

2x³ - 8x = 2x(x² - 4)

= 2x(x - 2)(x + 2)

Använd kända regler

x² - 9 = (x - 3)(x + 3)

När polynomet är faktoriserat blir nollställena lättare att hitta.

Lös:

x³ - 4x = 0

Steg 1: Bryt ut x.

x(x² - 4) = 0

Steg 2: Faktorisera differensen av två kvadrater.

x(x - 2)(x + 2) = 0

Steg 3: Använd nollproduktmetoden.

Svar:

x = -2, 0 eller 2

1. Skriv ekvationen med 0 i ena ledet.
2. Identifiera gemensamma faktorer eller kända algebraiska mönster.
3. Faktorisera så långt det går.
4. Använd nollproduktmetoden.
5. Kontrollera lösningarna i ursprungsekvationen.

Fel:

x(x - 3) = 0 ger bara x = 3.

Rätt:

Även faktorn x kan vara 0, alltså x = 0 eller x = 3.

Fel:

x² - 16 = (x - 4)²

Rätt:

x² - 16 = (x - 4)(x + 4).

Fel:

Polynomets grad är antalet termer.

Rätt:

Graden bestäms av den högsta exponenten med icke-noll koefficient.

Lös:

x³ - 9x = 0

x(x² - 9) = 0

x(x - 3)(x + 3) = 0

Svar:

x = -3, 0 eller 3

• Ett polynom består av termer med icke-negativa heltalsexponenter.
• Graden är den högsta exponenten.
• Nollställen uppfyller P(x) = 0.
• Faktorisering gör många polynomekvationer enklare.
• Nollproduktmetoden används när en produkt är lika med 0.