Geometrisk summa

En geometrisk talföljd har en konstant kvot mellan två intilliggande termer.

Exempel:

3, 6, 12, 24, ...

Här är kvoten:

k = 2

Summan av n termer

Om första termen är a och kvoten är k gäller för k ≠ 1:

Sₙ = a(1 - kⁿ)/(1 - k)

Samma formel kan också skrivas:

Sₙ = a(kⁿ - 1)/(k - 1)

Skriv summan:

Sₙ = a + ak + ak² + ... + akⁿ⁻¹

Multiplicera med k:

kSₙ = ak + ak² + ... + akⁿ

Subtrahera uttrycken.

Alla mellanliggande termer försvinner och vi får:

(1-k)Sₙ = a(1-kⁿ)

Lös ut Sₙ:

Sₙ = a(1-kⁿ)/(1-k)

Beräkna summan:

2 + 6 + 18 + 54

Första termen:

a = 2

Kvoten:

k = 3

Antal termer:

n = 4

S₄ = 2(1-3⁴)/(1-3)

= 2(1-81)/(-2)

= 80

1. Identifiera första termen a.
2. Bestäm kvoten k genom att dividera en term med föregående term.
3. Räkna antalet termer n.
4. Sätt in värdena i formeln.
5. Kontrollera svaret genom att uppskatta summans storlek.

Fel:

Blanda ihop antal termer n med sista exponenten.

Rätt:

Den sista termen är akⁿ⁻¹ när summan har n termer.

Fel:

Använda formeln när kvoten inte är konstant.

Rätt:

Kontrollera alltid att talföljden verkligen är geometrisk.

Fel:

Glömma specialfallet k = 1.

Rätt:

Då är alla termer lika och summan är n·a.

Beräkna:

5 + 10 + 20 + 40 + 80

a = 5, k = 2, n = 5

S₅ = 5(1-2⁵)/(1-2)

= 155

Svar: 155

• I en geometrisk talföljd är kvoten mellan intilliggande termer konstant.
• För k ≠ 1 gäller Sₙ = a(1-kⁿ)/(1-k).
• Den n:te termen är akⁿ⁻¹.
• Formeln kan motiveras genom att jämföra Sₙ med kSₙ.
• Kontrollera alltid första term, kvot och antal termer.