Exponentialfunktioner

En exponentialfunktion kan skrivas:

y = C · a^x

där:

C är startvärdet

a är förändringsfaktorn

x beskriver antalet förändringssteg

Exponentiell ökning

Om:

a > 1

ökar funktionen.

Exempel:

y = 100 · 1,05^x

Startvärde:

100

Förändringsfaktor:

1,05

Det motsvarar en ökning med 5 % per steg.

Exponentiell minskning

Om:

0 < a < 1

minskar funktionen.

Exempel:

y = 500 · 0,8^x

Förändringsfaktor:

0,8

Det motsvarar en minskning med 20 % per steg.

Linjär eller exponentiell?

Linjär förändring

Samma skillnad varje steg.

Exempel:

100, 120, 140, 160

Ökning med:

+20

Exponentiell förändring

Samma faktor varje steg.

Exempel:

100, 120, 144, 172,8

Multiplikation med:

1,20

Det är en central skillnad.

Ett sparkapital är 10 000 kr och ökar med 4 % per år.

Modell:

K(x) = 10000 · 1,04^x

Efter 5 år:

K(5) = 10000 · 1,04^5

≈ 12167

Svar:

Kapitalet är ungefär 12 167 kr.

Om:

a = 1,07

är ökningen:

7 %

Om:

a = 0,92

är minskningen:

8 %

eftersom:

1 - 0,92 = 0,08

1. Identifiera startvärdet.
2. Bestäm förändringsfaktorn.
3. Skriv modellen C · a^x.
4. Sätt in antalet förändringssteg.
5. Tolka svaret och enheten.

Fel:

10 % ökning → a = 0,10

Rätt:

a = 1,10

Fel:

10 % minskning → a = 1,10

Rätt:

a = 0,90

Fel:

Att blanda ihop linjär och exponentiell tillväxt.

En procentuell förändring sker utifrån det aktuella värdet och ger därför exponentiell förändring.

En dator är värd 20 000 kr och minskar med 15 % per år.

Skriv en funktion för värdet efter x år.

Förändringsfaktor:

0,85

Svar:

V(x) = 20000 · 0,85^x

• Exponentialfunktioner har formen C · a^x.
• C är startvärdet.
• a är förändringsfaktorn.
• a > 1 innebär ökning.
• 0 < a < 1 innebär minskning.
• Exponentiell förändring innebär samma faktor, inte samma skillnad.