Andragradsekvationer

En andragradsekvation kan skrivas:

ax² + bx + c = 0

där:

a ≠ 0

Exempel:

x² - 5x + 6 = 0

Metod 1: Faktorisering

Vi söker två tal som:

• multiplicerade blir 6
• adderade blir -5

Talen är -2 och -3.

Alltså:

x² - 5x + 6

= (x - 2)(x - 3)

Om produkten är noll måste minst en faktor vara noll:

x - 2 = 0

eller:

x - 3 = 0

Därför:

x = 2

eller:

x = 3

Metod 2: Kvadratroten

Exempel:

x² = 25

Ta kvadratroten:

x = ±5

Glöm inte den negativa lösningen.

Metod 3: pq-formeln

För en ekvation på formen:

x² + px + q = 0

gäller:

x = -p/2 ± √((p/2)² - q)

Exempel:

x² + 4x - 5 = 0

Här:

p = 4

q = -5

Sätt in:

x = -2 ± √(4 + 5)

x = -2 ± 3

Därför:

x₁ = 1

x₂ = -5

Om koefficienten framför x² inte är 1

Exempel:

2x² + 6x - 8 = 0

Dividera först hela ekvationen med 2:

x² + 3x - 4 = 0

Nu kan du använda faktorisering eller pq-formeln.

Faktorisering:

(x + 4)(x - 1) = 0

Alltså:

x = -4

eller:

x = 1

Antalet lösningar

En andragradsekvation kan ha:

• två reella lösningar
• en reell lösning
• inga reella lösningar

Exempel:

x² = -4

Det finns inget reellt tal som blir negativt när det multipliceras med sig självt.

Ekvationen saknar därför reella lösningar.

1. Försök skriva ekvationen med 0 i ena ledet.
2. Förenkla.
3. Kontrollera om den enkelt kan faktoriseras.
4. Om bara x² finns: använd kvadratroten.
5. Annars kan pq-formeln användas när koefficienten framför x² är 1.
6. Kontrollera lösningarna genom insättning när det är lämpligt.

Fel:

x² = 36

x = 6

Rätt:

x = ±6

Fel:

Använda pq-formeln direkt på:

2x² + 4x - 6 = 0

utan att först dividera med 2.

Fel:

Att tro att en andragradsekvation alltid har två olika lösningar.

Exempel:

x² - 6x + 9 = 0

(x - 3)² = 0

Här finns bara lösningen:

x = 3

Lös:

x² - 7x + 12 = 0

Faktorisera:

(x - 3)(x - 4) = 0

Svar:

x = 3

eller:

x = 4

• Andragradsekvationer innehåller x².
• De kan lösas med bland annat faktorisering, kvadratrotsmetod och pq-formeln.
• En andragradsekvation kan ha två, en eller inga reella lösningar.
• Glöm inte ± vid kvadratrotsmetoden.
• Skriv gärna ekvationen med noll i ena ledet innan du väljer metod.