Andragradsfunktioner

En andragradsfunktion kan skrivas:

f(x) = ax² + bx + c

där:

a ≠ 0

Parabelns riktning

Om:

a > 0

öppnar parabeln uppåt.

Den har då en minimipunkt.

Om:

a < 0

öppnar parabeln nedåt.

Den har då en maximipunkt.

Nollställen

Nollställena är de x-värden där:

f(x) = 0

Grafiskt är det där parabeln skär x-axeln.

Exempel:

f(x) = x² - 5x + 6

Faktorisera:

(x - 2)(x - 3)

Nollställena är:

x = 2

och:

x = 3

Symmetrilinje

Parabeln är symmetrisk.

Om nollställena är x₁ och x₂ kan symmetrilinjen ligga mitt emellan:

x = (x₁ + x₂)/2

I exemplet:

x = (2 + 3)/2

x = 2,5

Extrempunkt

Extrempunkten ligger på symmetrilinjen.

Sätt in:

x = 2,5

i funktionen för att hitta y-värdet.

f(2,5) = 2,5² - 5 · 2,5 + 6

= -0,25

Extrempunkten är alltså:

(2,5 ; -0,25)

Exempel från verkligheten

Höjden på en boll kan beskrivas:

h(t) = -5t² + 20t + 1

Eftersom koefficienten framför t² är negativ öppnar parabeln nedåt.

Extrempunkten beskriver bollens högsta höjd.

Nollställen kan användas för att undersöka när bollen befinner sig på marknivå.

f(x) = x² - 6x + 5

Steg 1: Hitta nollställena

Faktorisera:

(x - 1)(x - 5) = 0

Nollställen:

x = 1

och:

x = 5

Steg 2: Hitta symmetrilinjen

x = (1 + 5)/2

x = 3

Steg 3: Bestäm extrempunkten

f(3) = 9 - 18 + 5

= -4

Extrempunkt:

(3,-4)

1. Identifiera a, b och c.
2. Avgör om parabeln öppnar uppåt eller nedåt.
3. Bestäm nollställena.
4. Bestäm symmetrilinjen.
5. Sätt in symmetrilinjens x-värde för att hitta extrempunkten.
6. Kontrollera gärna med graf.

Fel:

Att blanda ihop nollställe och skärning med y-axeln.

Nollställe:

f(x) = 0

Skärning med y-axeln:

x = 0

Fel:

Att kalla extrempunkten en maximipunkt oavsett parabelns riktning.

Om a > 0 är det en minimipunkt.

Om a < 0 är det en maximipunkt.

Fel:

Att ange symmetrilinjen som endast 3.

Bättre:

x = 3

eftersom symmetrilinjen är en lodrät linje.

Funktionen är:

f(x) = x² - 8x + 12

Nollställena är:

x = 2

och:

x = 6

Bestäm symmetrilinjen.

x = (2 + 6)/2

Svar:

x = 4

• Andragradsfunktioner har formen ax² + bx + c.
• Grafen är en parabel.
• Nollställena är där grafen skär x-axeln.
• Symmetrilinjen går genom parabelns extrempunkt.
• Positivt a ger en minimipunkt.
• Negativt a ger en maximipunkt.