Beroende, oberoende & komplementhändelser

Två händelser är oberoende om resultatet av den ena inte förändrar sannolikheten för den andra.

Exempel:

Du kastar en tärning två gånger.

Det första kastet påverkar inte det andra.

Sannolikheten för sexa på varje kast är fortfarande:

1/6

Händelser är beroende när den första påverkar sannolikheten för den andra.

Exempel:

En påse innehåller:

3 röda kulor

2 blå kulor

Du tar en kula utan att lägga tillbaka den.

Sannolikheten för röd första gången:

3/5

Om du får en röd kula återstår:

2 röda

2 blå

Sannolikheten för ytterligare en röd blir:

2/4

Händelserna är därför beroende.

Med återläggning

Föremålet läggs tillbaka.

Sannolikheterna förändras inte.

Utan återläggning

Föremålet läggs inte tillbaka.

Sannolikheterna kan förändras.

Komplementhändelsen är att en viss händelse inte inträffar.

Om:

P(A) = 0,3

är:

P(inte A) = 1 - 0,3

= 0,7

Allmänt:

P(A) + P(inte A) = 1

Komplementhändelser är särskilt användbara vid frågor som:

Vad är sannolikheten att få minst en sexa?

Ibland är det enklare att först beräkna:

ingen sexa

och sedan använda:

P(minst en sexa) = 1 - P(ingen sexa)

En tärning kastas två gånger.

Vad är sannolikheten att få minst en sexa?

Steg 1: Beräkna ingen sexa

Sannolikheten att inte få sexa på ett kast:

5/6

Två kast:

5/6 · 5/6 = 25/36

Steg 2: Ta komplementet

1 - 25/36

= 11/36

Svar: cirka 30,6 %

• Avgör om händelserna påverkar varandra.
• Kontrollera om det sker återläggning.
• Uppdatera sannolikheterna vid beroende händelser.
• Fundera på om komplementhändelsen är enklare att beräkna.
• Kontrollera resultatets rimlighet.

Fel:

Att alltid använda samma sannolikhet vid dragning utan återläggning.

Fel:

Att tro att två tärningskast påverkar varandra.

Vanliga separata tärningskast är oberoende.

Fel:

P(inte A) = -P(A)

Rätt:

P(inte A) = 1 - P(A)

Sannolikheten att ett tåg är försenat är 20 %.

Vad är sannolikheten att det inte är försenat?

1 - 0,20 = 0,80

Svar: 80 %

• Oberoende händelser påverkar inte varandras sannolikheter.
• Beroende händelser gör det.
• Dragning utan återläggning skapar ofta beroende händelser.
• Komplementet till A betyder att A inte inträffar.
• P(A) + P(inte A) = 1.