Matematiska modeller

Anta att ett gym tar:

250 kr i månadsavgift

50 kr per träningspass

Kostnaden kan beskrivas:

K(x) = 250 + 50x

Det är en matematisk modell.

Den verkliga situationen har översatts till matematik.

I:

K(x) = 250 + 50x

är:

• 250 – den fasta kostnaden.
• 50 – är kostnaden per träningspass.
• x – är antalet pass.

Bestäm vilka storheter som förändras.

Exempel

• tid
• kostnad
• temperatur
• antal personer
• sträcka

Är sambandet exempelvis:

• linjärt?
• exponentiellt?
• proportionellt?
• kvadratiskt?

Om något förändras med samma mängd varje steg:

y = kx + m

Exempel

En tank innehåller 100 liter och fylls med 5 liter per minut.

V(t) = 100 + 5t

Om något förändras med samma procent eller faktor:

y = C · a^x

Exempel

En population på 1 000 individer växer med 3 % per år:

P(t) = 1000 · 1,03^t

Alla modeller bygger på antaganden.

Populationsexemplet antar exempelvis att:

• tillväxttakten är konstant
• inga stora yttre förändringar inträffar
• samma modell fortsätter gälla
• Det är sällan helt sant under obegränsad tid.

En modell kan fungera bra inom ett visst intervall men dåligt utanför det.

Exempel

En linjär modell bygger på data mellan 0 och 20 minuter.

Att använda den för att förutsäga vad som händer efter 20 år kan vara orimligt.

En bil är värd 250 000 kr.

Värdet minskar med 12 % per år.

Steg 1: Startvärde

250000

Steg 2: Förändringsfaktor

1 - 0,12 = 0,88

Steg 3: Modell

V(t) = 250000 · 0,88^t

Steg 4: Efter tre år

V(3) = 250000 · 0,88³

≈ 170368

Modellen ger alltså ett uppskattat värde på cirka:

170 000 kr

Fråga:

• Är antagandena rimliga?
• Passar modellen till datan?
• Hur långt kan vi extrapolera?
• Finns faktorer som modellen ignorerar?

I bilexemplet kanske värdet inte minskar med exakt 12 % varje år.

Modellen är därför en approximation.

Fel:

Att tro att en matematisk modell är en exakt beskrivning av verkligheten.

Fel:

Att välja linjär modell när förändringen egentligen sker procentuellt.

Fel:

Att använda modellen långt utanför det område den bygger på.

En bakteriekultur innehåller 800 bakterier och ökar med 5 % per timme.

Skriv en modell.

Förändringsfaktor:

1,05

Svar:

B(t) = 800 · 1,05^t

• Matematiska modeller förenklar verkligheten.
• Modeller bygger på antaganden.
• Linjära modeller har konstant förändring.
• Exponentiella modeller har konstant förändringsfaktor.
• En modell har ett giltighetsområde.
• Modeller behöver alltid utvärderas kritiskt.